Le cube de Rubik a inspiré de nombreux autres casse-têtes. On peut associer à la plupart d'entre eux un groupe, muni d'un "petit" système générateur, qui opère sur l'ensemble des configurations possibles. Résoudre le casse-tête revient à savoir exprimer un élément quelconque du groupe à l'aide des générateurs. Il y a d'autres questions intéressantes concernant la structure du groupe, la caractérisation des configurations atteignables, le nombre de configurations, le nombre maximum de coups nécessaires...
Après de rapides rappels sur le groupe symétrique et les actions de groupes, on présentera quelques exemples de casse-têtes. Cela permettra de donner des pistes générales pour la résolution pratique de ce type de casse-têtes et de répondre à certaines des questions intéressantes ci-dessus, en rencontrant au passage un plongement exceptionnel de S5 dans S6.
Avant et pendant l'exposé, les auditeurs ont pu tenter de résoudre eux-mêmes certains des casse-têtes étudiés, par le biais de cette page.
Pour commencer, essayez de placer sur le Tournaplat2X3 les trois lettres A, B et C sur la ligne du haut et dans cet ordre, plusieurs fois de suite. Déplacez les lettres à l'aide des boutons roses et cliquez n'importe où pour recommencer après une victoire.
Que remarquez-vous?
Que conjecturez-vous pour l'ensemble des configurations atteignables à partir de la configuration
où les lettres sont dans l'ordre alphabétique?
Exercice pas du tout évident: démontrer votre conjecture.
Essayez de trouver une méthode générale de résolution du Tournaplat3X3.
Le but est de remettre les lettres dans l'ordre alphabétique à l'aide des boutons bleus. Les commandes vertes sont: I (position initiale pour faire des essais de "formules"), M (mélange du casse-tête), U (undo) et les chiffres qui mélangent le casse-tête en un certain nombre de coups, pour une résolution sans excéder ce nombre de coups.
Leurs positions finales ont les flèches vers le bas.
Cliquer sur les faces triangulaires ou la face grise pour les faire tourner. Avec la touche shift, cela tourne dans l'autre sens.